Родился 23 февраля 1900 года в селе Червоная Гусаровка Харьковской губернии. В РККА с марта 1918 года. Гражданскую войну окончил в звании младшего командира. В 1927 году окончил 13-ю Одесскую пехотную командную школу.

В годы Великой Отечественной войны служил на Дальнем Востоке. С 9 июля 1941 года по 9 января 1942 года был командиром 59-й стрелковой дивизии, а с февраля 1942 года - командиром 26-го стрелкового корпуса. 8 декабря 1941 года полковнику Гнечко присвоено звание генерал-майора. С ноября 1944 года командовал Камчатским оборонительным районом Дальневосточного фронта.

С августа 1945 года генерал-майор А. Р. Гнечко участвует в Советско-Японской войне. Успешный ход военных действий в Манчжурии, Корее, на Южном Сахалине создал благоприятные условия для проведения десантной операции с целью ликвидации на Курильских островах плацдарма японской агрессии. Подготовка и осуществление операции возлагались на генерал-майора Гнечко, который назначен был командующим  десантной операции.

18 августа 1945 года части Камчатского оборонительного района под командованием генерал-майора А.Р. Гнечко начали штурм острова Шумшу. Внезапность обеспечивалась тем, что японское командование считало невозможным высадку десанта на столь хорошо укрепленном острове, имеющем повсюду высокие, скалистые берега.

Застигнутые врасплох, японцы сначала открыли беспорядочную пулеметную стрельбу, а когда к берегу стали подходить все новые и новые суда, противник обрушил на них ураганный огонь. Генерал Алексей Гнечко приказал корабельной артиллерии открыть ответный огонь.

19 августа появились японские парламентеры. Официально бои прекратились, но японские солдаты не собирались сдавать оружие. Вражеская артиллерия внезапно открыла огонь по советским кораблям. Генерал А. Р. Гнечко отдал приказ нанести бомбовые и артиллерийские удары по военным объектам противника. После этого японские войска согласились на безоговорочную капитуляцию. К концу августа силы Камчатского оборонительного района и  Петропавловской военно-морской базы заняли всю северную гряду островов.

Генерал А. Р. Гнечко проявил высокие организаторские способности при подготовке войск к наступлению в ограниченные сроки, искусно выбрал направление главного удара, организовал четкое взаимодействие сухопутных войск, авиации и флота. За умелое командование оборонительным районом, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с японскими милитаристами и проявленные при этом мужество и героизм генерал-майору Алексею Романовичу Гнечко 8 сентября 1945 года присвоено звание Героя Советского Союза.

После войны командовал 137-м стрелковым корпусом в Дальневосточном военном округе. В 1951 году окончил Высшие академические курсы при Высшей военной академии имени К. Е. Ворошилова. В июле 1951 года становится заместителем командующего войсками Западно-Сибирского военного округа по боевой подготовке в Новосибирске. С февраля 1955 года - старший военный советник при командующем войсками военного округа Народно-освободительной армии Китайской Народной Республики.

В отставке с 1959 года.

Умер 7 апреля 1980 года в Москве. Урна с его прахом стоит в колумбарии Донского 1-го крематория.