Родился 26 августа 1894 года в селе Налитово (ныне Пуркаево), Мордовия. 

В Красной Армии он служил с  1918 года. В Гражданскую войну был командиром полка. Окончил курсы «Выстрел» (1923 год), Военную академию имени М. В. Фрунзе (1936 год).
В 1938-1940 годах занимал пост начальника штаба Белорусского, а с июля 1940 года - Киевского Особых военных округов, участвовал в освободительном походе в Западную Белоруссию (1939 год). 

Во время Великой Отечественной войны Пуркаев находился на должности начальника штаба Юго-Западного фронта (июнь - июль 1941 года), командующего 60-й (с декабря 1941 года 3-я Ударная) армией на Северо-Западном и Калининском фронтах, командующего Калининским фронтом (1942-1943 года). Находясь в действующей армии, проявил высокие организаторские способности в руководстве войсками, особенно в боях под Москвой, в Торопецко-Холмской операции и успешном прорыве обороны противника в районе озера Селигер. 

Под руководством Пуркаева была подготовлена и осуществлена Великолукская операция (1942-1943 годы). С апреля 1943 года Пуркаев командовал Дальневосточным, затем 2-м Дальневосточным фронтами, проделал большую работу по подготовке
и проведению операции по разгрому японских войск в Маньчжурии
в августе 1945 года, а также по освобождению Южного Сахалина и Курильских островов. 

После войны Пуркаев командовал войсками Дальневосточного военного округа (сентябрь 1945 года — январь 1947 года), с июня 1947 года был начальником штаба
и первым заместителем главнокомандующего войсками Дальнего Востока,
с июля 1952 года занимал должность начальника Управления высших военно-учебных заведений Военного министерства СССР. 

Депутат Верховного Совета СССР 2-го созыва. Награждён 2 орденами Ленина,
4 орденами Красного Знамени, орденами Суворова 1-й степени, Кутузова 1-й степени
и медалями. 

Максим Алексеевич Пуркаев скончался 1 января 1953 года.