Родился 24 октября 1897 года в городе Таганроге в рабочей семье. Окончил начальную школу и с 1912 года работал в железнодорожном депо станции «Таганрог».

В 1917 году призван в русскую армию, унтер-офицер.

Участвуя в Гражданской войне на стороне Красной Армии, он поочерёдно командовал взводом, ротой, батальоном. Был помощником начальника штаба бригады, участвовал в боях на Южном и Юго-Западном фронтах.

В 1922 году окончил Высшую тактическую стрелковую школу имени Коминтерна,
в 1927 году - Военную академию имени М. В. Фрунзе.

В 1922-1924 годах - командир батальона и помощник командира стрелкового полка
в Харьковском военном округе. По окончании академии, с 1927 года -
Кузьма Никитович Галицкий - начальник штаба стрелкового полка, с 1928 года - начальник научно-редакционной части Военной академии имени М. В. Фрунзе,
с 1930 года - адъюнкт этой академии. 

С 1931 года - командир стрелкового полка, в январе - мае 1934 года - заместитель начальника отдела боевой подготовки в Московском военном округе, затем помощник командира 3-й Крымской стрелковой дивизии в Харьковском военном округе,
а в сентябре-ноябре 1937 года - начальник штаба этого округа. С ноября 1937 года - командир 90-й стрелковой дивизии в Ленинградском военном округе. Комбриг  
с 20 февраля 1938 года.

В июле 1938 года был арестован и находился в тюрьме под следствием до мая
1939 года. Виновным себя не признал и был освобождён за недоказанностью вины
при частичном пересмотре дел арестованных после назначения  Берия Народным комиссаром внутренних дел СССР. До декабря 1939 года нового назначения
не получил, оставаясь в резерве кадров.

В декабре 1939 года назначен командиром 24-й Самаро-Ульяновской Железной дважды Краснознамённой стрелковой дивизии, участвовал в советско-финляндской войне 1939-1940 годов. Генерал-майор с 4 июня 1940 года.

К началу Великой Отечественной войны его 24-я Самаро-Ульяновская Железная стрелковая дивизия из Ленинградского военного округа была переброшена в Белорусский Особый военный округ в район Молодечно. С 25 июня по 29 июня
1941 года дивизия упорно оборонялась в районе Лиды, но ввиду катастрофического для РККА развития Белостокско-Минского сражения оказалась в окружении.
В середине июля 1941 года генерал-майор Галицкий вывел остатки дивизии
 из окружения, при этом было утрачено Боевое Знамя дивизии (в 1944 году Знамя было возвращено местными жителями, которые нашли его при похоронах убитых бойцов
на теле выносившего его политработника). Сам Галицкий сразу после выхода
из окружения назначен командиром 67-го стрелкового корпуса в составе 21-й армии Центрального фронта и участвовал в Смоленском сражении. В ходе обороны Гомеля
13 августа 1941 года тяжело ранен и год находился в госпиталях.

С 1942 года - заместитель командующего 1-й ударной армии на Северо-Западном фронте. С сентября 1942 года - командующий 3-й ударной армии Калининского фронта. Генерал-лейтенант с 30 января 1943 года). Под его командованием армия участвовала
в Великолукской операции и в Невельской операции.

В ноябре 1943 года - мае 1945 годов — командующий 11-й гвардейской армией
на 2-м Прибалтийском фронте и 3-м Белорусском фронте. Участвовал в Городокской операции, Витебской операции, Белорусской стратегической наступательной операции, Гумбиннен-Гольдапской операции. Генерал-полковник  с 28 июня 1944 года.

Армия под командованием Галицкого принимала активное участие в боях в Восточной Пруссии в ходе Восточно-Прусской стратегической наступательной операции.
Во время штурма Кёнигсберга (6-9 апреля 1945 года) перед армией стояла задача расчленить группировку немцев и овладеть южной частью города. В первый день боёв армия продвинулась на три километра, разрушив более 20 немецких опорных пунктов и захватив районы Понарт, Розенау, Нассер Гартен. 8 апреля была форсирована река Прегель в районе морского порта. 41 воин армии за эти бои получил звание Героя Советского Союза. Сам генерал Галицкий стал Героем Советского Союза 19 апреля 1945 года.

Войну генерал Галицкий закончил взятием крупной военно-морской базы Пиллау
и пленением крупной группировки противника на косе Фрише-Нерунг. В Кёнигсберге он организовал сооружение первого в стране мемориала павшим воинам. За время войны был трижды ранен.

После войны командовал войсками Особого (1945 - 1946 годы), Прикарпатского
(1946 -1951 годы), Одесского военного округов (1951 - 1954 годы), Московского района ПВО (1954 - 1955 годы), Северной группы войск (1955 - 1958 годы), Закавказского военного округа (1958 - 1961 годы). Генерал армии с 11 марта 1955 года.

Был депутатом Верховного Совета СССР 2−5 созывов в 1946 - 1962 годах. В 1962 году ушёл в отставку. Жил в Москве, в Доме на набережной.

Скончался 14 марта 1973 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.