Родился 14 марта 1871 года в Москве в семье гражданского чиновника. Образование получил в 1-м Московском кадетском корпусе, который окончил в 1888 году. На военной службе с августа 1888 года. После окончания Михайловского артиллерийского училища в 1891 году с чином подпоручика выпущен в лейб-гвардии 3-ю артиллерийскую бригаду. В августе 1895 года произведен в поручики. В 1897 году окончил Николаевскую академию Генерального штаба по первому разряду, штабс-капитан гвардии с переименованием в капитаны Генерального штаба. В январе 1898 года назначен старшим адъютантом штаба 38-й пехотной дивизии, а в мае того же года — обер-офицером для поручений при штабе Варшавского военного округа. В начале 1900 года Потапов, свободно владевший французским и немецким языками, был направлен в заграничную командировку в Германию, Австро-Венгрию, Францию и Швейцарию, где совершенствовал свои знания в области артиллерии, изучал места сражений франко-прусской войны 1870–1871 годов. В марте 1901 года его назначают помощником военного агента в Вене и вскоре производят в чин подполковника. В этой должности он находился до июня 1903 года, занимаясь, по сути, военной разведкой. В июне 1903 года Н. М. Потапов был назначен военным агентом в Черногории, а в декабре 1906 года за отличие по службе произведен в полковники. В этот период военно-дипломатической деятельности он в 1906 году совершил длительную командировку во Францию, Англию и Германию в целях изучения и сравнения систем пулеметного оружия для выбора системы пулеметов на перевооружение русской армии. В декабре 1912 года за отличие по службе его производят в генерал-майоры. В 1913—1914 годы в составе международной комиссии по разграничению территории Албании от Черногории, Греции и Сербии он находился в длительной командировке в Албании и Сербии. Вернувшись затем в Черногорию, в качестве главного военного советника генерал-майор Потапов организовывал обучение 40-тыс. черногорской армии. С началом Первой мировой войны он до 1916 года оставался в Черногории, представляя русское командование при черногорском главном командовании, а затем был отозван в Россию с переводом в Главное управление Генерального штаба (ГУГШ). В ГУГШ он последовательно занимал должности начальника эвакуационного управления и по заведованию военнопленными.

После Февральской революции 1917 года Потапов был определен председателем Военной комиссии при Временном комитете Государственной думы. На этом посту он проявил себя военным руководителем, лояльным к новой власти, и в апреле 1917 года был назначен генерал-квартирмейстером ГУГШ, где по должности возглавлял всю разведывательную службу и контрразведку русской армии. В этот период ГУГШ, несмотря на то, что не имел непосредственного отношения к действующей армии, играл значительную роль, обеспечивая проведение мобилизаций, формирование полевых, запасных и ополченческих частей, подготовку офицерского и унтер-офицерского состава; размещение военных заказов внутри страны и за рубежом. Кроме того, он ведал сбором разведывательных данных, в том числе поступавших из-за границы, которые после обработки передавались в штаб Верховного главнокомандующего. В 1917 году Потапов был произведен в генерал-лейтенанты. 

Генерал-лейтенант Потапов стал одним из первых представителей высшего военного командования, который пошел на сотрудничество с большевиками. С июля 1917 года он тесно взаимодействовал с Военной организацией при Петроградском комитете РСДРП(б) и предоставлял им необходимую информацию. Знавший Потапова еще с юношеских лет известный деятель партии большевиков М. С. Кедров позднее вспоминал, что «после июльских дней генерал Н. М. Потапов, помощник начальника Главного штаба и генерал-квартирмейстер, предложил через меня свои услуги Военной организации большевиков (и оказывал их)». По свидетельству Потапова, с Кедровым он неоднократно встречался и в дальнейшем. Пример одного из опытнейших разведчиков русской армии, полиглота и военного исследователя, авторитет и заслуги которого были широко известны, повлиял на то, что на сторону Советов перешли многие офицеры и генералы Главного штаба. После Октябрьской революции 1917 года Потапов продолжил сотрудничество уже с Советом народных комиссаров (СНК) и стал одним из первых военных специалистов, перешедших на сторону Советской власти. 

В ноябре 1917 года Потапов был назначен на должность начальника Генерального штаба, на которой он находился до 8 мая 1918 года, когда с созданием Всероглавштаба Генеральный штаб был упразднен. В период с июля по сентябрь 1918 года Потапов состоял членом Высшего военного совета, одновременно являлся членом, а с 4 июня 1919 года — председателем Военно-законодательного совета (с апреля 1920 года — совещания) при Революционном Военном Совете Республики (РВСР), игравшего важную роль в становлении Красной Армии. С ноября 1921 года Потапов находился на различных должностях в системе Всевобуча и являлся руководителем практических занятий по французскому языку Военной академии РККА. В 1924 года его назначают помощником начальника военно-научного отдела Высшего военного редакционного совета, а с его ликвидацией в июле 1926 года переведен старшим инструктором книжно-журнальной части Агитпропотдела Политуправления РККА. За свою работу в феврале 1928 года награжден золотыми часами с надписью «Стойкому защитнику Пролетарской революции от РВС СССР». В декабре 1930 года зачислен в резерв. Занимал различные должности в системе Государственного военного издательства. В июне 1936 года вновь определен в кадры РККА и назначен начальником отдела переводной литературы Управления Государственного военного издательства при НКО СССР. В мае 1938 уволен в отставку по возрасту.