Алексей Петрович Евдокимов родился 8 февраля 1925 в деревне Труяновка ныне Клинского района Московской области в крестьянской семье. В Красную Армию призван Высоковехским райвоенкоматом Высковехского района Московкой области в 1943 году. Мужественно сражался с гитлеровскими захватчиками на Центральном фронте.

   

Младший сержант Алексей Евдокимов особо отличился при освобождении Лоевского района Гомельской области Белоруссии. 1 октября 1943 года Евдокимов составе группы в числе первых переправился через реку Днепр, ворвался в траншею неприятеля и в бою уничтожил одиннадцать гитлеровцев.   2 октября 1943 года на захваченном плацдарме командир пулемётного расчёта Евдокимов участвовал в отражении шести вражеских контратак, уничтожив до взвода гитлеровцев.

   

6 октября 1943 году в бою за деревню Глушец Лоевского района Гомельской области Белоруссии отважный командир пулемётного расчёта пал смертью храбрых. Похоронен в деревне Деражичи Лоевского района Гомельской области Республики Беларусь.

   

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 января 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм младшему сержанту Евдокимову Алексею Петровичу посмертно звание Героя Советского Союза.  

Награждён орденом Ленина.  Имя героя носит улица в городе Твери.