Александр Павлович Непокойчицкий родился 29 августа 1870 года. Из потомственных дворян Херсонской губернии. Образование получил в Елисаветградском Земском реальном училище. 

В 1892 году он поступил юнкером рядового звания в Николаевское кавалерийское училище. Получил звание унтер-офицера (1893). Окончил училище по 1-му разряду; выпущен корнетом (1893) в 20-й драгунский Ольвиопольский полк. Получил звание поручика (1897 г.), штабс-ротмистра (1899 г.). Окончил с отличием Офицерскую кавалерийскую школу (1902). Прикомандирован к Николаевскому кавалерийскому училищу на должность младшего офицера (1904), переведен в Николаевское кавалерийское училище (1906). 

В 1910 году А.П. Непокойчицкий был командирован в 4-й драгунский Троицко-Екатеринославский полк для цензового командования эскадроном; был переименован в подполковники (1913) с переводом в 9-й драгунский Казанский полк. Потом он был назначен временно исполняющим должность помощника командира полка по хозяйственной части (1914). 

Участвовал в Первой мировой войне в должности помощника командира полка по строевой части (с августа 1914). Получил звание полковника за отличия в делах против неприятеля. Неоднократно временно командовал полком, находился на должности помощника командира 9-го драгунского Казанского полка по строевой части. 

За конную атаку 27 мая 1916 года на спешенные порядки 2-й австро-венгерской кавалерийской дивизии он был награжден орденом Св. Георгия 4-й ст. (1917). 

А.П. Непокойчицкий командовал стрелковым полком 9-й кавалерийской дивизии (январь-октябрь 1917), 9-м уланским Бугским полком (с октября 1917), временно командовал 1-й бригадой 9-й кавалерийской дивизии (по декабрь 1917). 

28 февраля 1920 года он выехал из Новороссийска в Сербию (Югославию), где находился эмиграции. Преподавал в русском кадетском корпусе в Белой Церкви. Похоронен в Сремской Митровице.