В 1918 году семья, вслед за отступающей Красной армией, переехала из Ростова 

в Ессентуки, а в 1920 году в Баку. В 1924 году отец с сыном поехал восстанавливать доменное производство в Макеевку. Здесь юноша начал трудиться на металлургическом заводе «Унион»-«Югосталь»: учеником лаборанта, лаборантом, слесарем, токарем.

В конце 1925 года вся семья Куниковых переехала в Москву. Здесь он работал слесарем на фабрике «Союз», затем токарем на тормозном заводе. В 1928 году Цезарь Львович Куников поступил в Высшее военно-морское училище имени М. В. Фрунзе 

в Ленинграде. После пяти месяцев учебы тяжело заболел и был отчислен из училища. После выздоровления служил срочную механиком на флоте. 

С 1932 года — заведующий сектором оборонной промышленности Московского комитета комсомола. Окончил Московскую промышленную академию и Московский машиностроительный институт им. Бубнова. Получив два диплома: инженера-организатора машиностроительного производства и технолога-механика, 26-летний Цезарь Львович пришёл на Московский завод шлифовальных станков. Начав с самой нижней ступеньки — мастером токарного отделения, уже в марте 1938 года Цезарь был назначен главным технологом завода. С октября того же года — начальник технического управления Наркомата машиностроения, Наркомата тяжёлого машиностроения, директор ЦНИИ технологии машиностроения, ответственный редактор всесоюзной газеты «Машиностроение». Он был награжден медалью 

«За трудовое отличие».

По плану проведения операции «Море», для отвлечения сил противника, в ночь 

с 3 на 4 февраля 1943 года десантный отряд моряков-добровольцев (275 человек) под командованием майора Куникова с минимальными потерями (трое раненых, один убитый) высадился на занятом врагом, хорошо укреплённом побережье в районе Новороссийска, у пос. Станичка (м.Мысхако «Малая земля»). Стремительным ударом десантный отряд выбил немцев из опорного пункта и прочно закрепился на захваченном плацдарме. На рассвете разгорелся ожесточённый бой. Десантники в течение суток отразили 18 атак противника. К концу дня боеприпасы были на исходе. Положение казалось безвыходным. Тогда отряд майора Куникова совершил внезапный налёт на артиллерийскую батарею противника. Истребив орудийный расчёт и захватив орудия, они открыли из них огонь по атакующим вражеским солдатам. Ввиду неудачной высадки главных сил десанта, плацдарм, занятый подразделением Цезаря Львовича Куникова стал из отвлекающего — основным. Семь дней десантники отбивали яростные атаки врага. Удерживая освобожденную территорию до подхода основных сил, моряки выбивали (зачищали) противника из многоэтажных зданий. Впервые в практике подразделений советской морской пехоты Цезарь Львович Куников  провел практическое обучение личного состава технике высадки на берег 

в ночное время в зимних условиях, владения холодным оружием, стрелковым и артиллерийским вооружением противника.

В ночь на 12 февраля 1943 года Цезарь Львович Куников  был смертельно ранен взрывом «шальной» мины на Малой земле, эвакуирован в Геленджик, и там 14 февраля 1943 года скончался от ран. Похоронен в городе Геленджик на городском кладбище, 

по окончании войны прах перезахоронен на площади Героев в Новороссийске.

За мужество и отвагу Куникову Цезарю Львовичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 апреля 1943 года посмертно присвоено звание 

Героя Советского Союза.