Родился 23 сентября 1756 года в Санкт-Петербурге. Получив образование в Морском кадетском корпусе, в 1777 году был произведён в мичманы.

В 1788 году Бодиско был произведён в капитан-лейтенанты и, командуя транспортом «Сокол», был в Гогландском сражении, после чего принял в командование пленный шведский корабль «Принц Густав» и доставил на нём в Кронштадт пленных.

Командуя фрегатом «Надежда Благополучия» в отряде капитана 2-го ранга Тревенена, Николай Андреевич Бодиско участвовал в сражении у Гангута, а затем до поздней осени плавал в Балтийском море. 15 июля 1789 года он, в составе эскадры адмирала Чичагова, участвовал в Эландском сражении, 2 мая 1790 года — в Ревельском,
а 22 июня — в Выборгском, где взял с бою в плен четыре шведских канонерских лодки и два транспорта,

17 ноября 1798 года был произведён в капитаны 1-го ранга. В 1804 году получил чин капитан-командора, а в 1808 году произведён в контр-адмиралы.

Начальствуя сухопутным 2-тысячным отрядом, посаженным на зафрахтованные купеческие суда, Бодиско пришел из Либавы и 22 апреля овладел островом Готландом, но скоро был принужден оставить остров, 16 мая атакованный шведским отрядом
в 5000 человек под командованием Рудольфа Сегерстрёма. 

7 ноября 1812 года был назначен главным командиром Гельсингфорса и Свеаборгского порта. 

Умер 1 ноября 1815 года в Свеаборге. Похоронен на православном кладбище
в Хельсинки в районе Лапинлахти.