Родился 16 августа 1955 года в Брянской области. В 1978 году окончил Калининградское высшее военно-морское училище.

С 1978 года начал офицерскую службу с должности помощника командира корабля — командира штурманской боевой части базового тральщика (БТЩ) «Алтайский комсомолец» Таллинской военно-морской базы, затем был назначен командиром БТЩ «Комсомолец Эстонии». С 1983 года по 1998 год последовательно занимал должности начальника штаба и командира дивизиона тральщиков военно-морской базы города Балтийск, начальника штаба и командира соединения кораблей охраны водного района, начальника штаба — первого заместителя командира соединения кораблей Ленинградской военно-морской базы.

В 1989 году окончил Военно-морскую академию им. Маршала Советского Союза
А. А. Гречко. В 1998—2001 годы — начальник штаба Балтийской военно-морской базы.

В 2003 году окончил Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил Российской Федерации. С 2003 года по 2005 год — командир Балтийской военно-морской базы. С 2005 года — начальник штаба Балтийского Флота.

Указом Президента Российской Федерации от 17 июля 2007 года и приказом Министра обороны Российской Федерации от 18 июля 2007 года назначен командующим Черноморским флотом.

В период 2007—2010 годов, когда флот находился под управлением Клецкова, произошли крупные события. 5 февраля 2006 года отряд российских кораблей Черноморского флота РФ в составе ракетного крейсера «Москва», десантного корабля «Азов» и спасательного буксира СБ-36 приняли участие в операции Активные усилия
в Средиземном море, СБ-36 участвовал в контртеррористической операции против сомалийских пиратов. Успешное участие флота в осетинском конфликте 2008 года,
бой 10 августа.

2 июля 2010 года Александр Дмитриевич Клецков освобожден от должности командующего Черноморским флотом по причине достижения предельного возраста нахождения военачальника в звании вице-адмирала.