Родился 31 мая 1929 года в ауле Хатажукай Шовгеновского района Адыгейской автономной области Краснодарского края. Окончил среднюю школу, Каспийское высшее военно-морское училище имени С. М. Кирова в Баку Азербайджан.

В 1946 году по направлению Адыгейского обкома КПСС поступил и в 1950 году окончил Каспийское высшее военно-морское училище имени С. М. Кирова в Баку. По окончании КВВМКУ им. С. М. Кирова молодой лейтенант М. Тхагапсов назначен командиром минно-торпедной части сторожевого корабля «Шквал» на Краснознамённый Чёрноморский флот. Службу проходил на кораблях в военно-морских базах городов Поти, Керчь, и Севастополь. В 1951 году в должности командира артиллерийской и минно-тральной боевых частей Т-61 принимал участие в боевых действиях по боевому тралению, и уничтожению минных заграждений, выставленных германской авиацией и флотом на Чёрном море в районе порта Одесса.

В 1952 году в составе соединения из 10-ти кораблей Чёрноморского флота перебазирован служить на Краснознамённый Северный флот и вскоре назначен на должность помощника командира морского тральщика Т-117. С 1954 год командовал морским тральщиком Т-117. С 1955 — командир морского тральщика МТ-480. В 1958 году назначен старшим офицером по строевой части 16-го бригады кораблей охраны водного района, а с 1958 года помощником начальника штаба дивизии по оперативно-боевой подготовке. В 1962 году М. Тхагапсов назначается командиром 20-го дивизиона кораблей резерва Северного флота. С 1969 года капитан 1-го ранга М. М. Тхагапсов назначен командиром дивизиона кораблей особого назначения.

В 1971 году на Северном флоте создается знаменитая 159-я бригада разведывательных кораблей с пунктом базирования п. Горячие Ручьи Мурманской области, первым командиром которой назначается капитан 1-го ранга М. М. Тхагапсов. В 1978 году назначен заместителем начальника штаба Краснознамённого Северного флота по боевому управлению (ЗАТО Североморск).

В 1987 году контр-адмирал Тхагапсов Меджид Махмудович вышел в отставку.

Работал в Риге в Госкомрезерве СССР. В 1991 году вернулся на Родину в Майкоп Республики Адыгея. Работал помощником Главы Майкопа по оперативным вопросам, Председателем Комиссии по правам человека при Президенте Республики Адыгея, Помощником (советником) Президента Республики Адыгея. Принимает самое активное участие в работе ветеранских организаций республики, в работе с молодежью по патриотическому воспитанию. Председатель союза моряков Российского флота Республики Адыгея, Член Президиума общественной организации ветеранов (пенсионеров, инвалидов) войны, труда, Вооруженных Сил и правоохранительных органов Республики Адыгея Российской Федерации, член Комитета регионального отделения Общероссийской общественной организации ветеранов Вооружённых сил РФ. Член Общественного совета при Министре внутренних дел по Республике Адыгея.