Родился 19 марта 1930 года в Алма-Ате. В 1948 году он окончил Калининградское военно-морское подготовительное училище. В августе того же года Катышев был призван на службу в Военно-морской флот СССР. В 1952 году он окончил Балтийское высшее военно-морское училище, в 1960 году — Высшие специальные офицерские классы ВМФ, в 1977 году — академические курсы при Военно-морской академии. Служил на подводных лодках Балтийского, Северного и Тихоокеанского флота.

С мая 1977 года контр-адмирал Андрей Катышев командовал отдельной частью ВМФ СССР. Возглавлял и принимал личное участие в сложных морских походах на подводных лодках, во время которых испытывалось новое вооружение и оборудование.

В июле 1985 года Катышев был уволен в запас. 

В настоящее время проживает в Москве, занимается общественной деятельностью.