Родился 3 мая 1872 года в Чебоксарах в бедной дворянской семье. Образование получил в Нижегородском графа Аракчеева кадетском корпусе, после окончания которого в 1890 году стал юнкером 3-го военного Александровского училища. Окончив училище в 1892 году, выпущен подпоручиком в лейб-гвардии Московский полк. В августе 1896 года произведен в поручики, а в следующем году поступил в Николаевскую академию Генерального штаба, которую окончил в 1900 году по первому разряду, штабс-капитан. По выпуску причислен к Генеральному штабу и назначен обер-офицером для особых поручений при штабе 15-го армейского корпуса. С февраля 1904 года на различных должностях в Главном штабе: помощник столоначальника, помощник начальника отдела, делопроизводитель мобилизационного отдела Генерального штаба. В декабре 1904 года произведен в подполковники. В 1908 году за отличие по службе пожалован в полковники. В сентябре 1910 года назначен начальником отделения Главного управления Генерального штаба; с января 1913 года — начальник отделения Главного штаба. Участник Первой мировой войны. В годы войны – начальник отделения управления генерал-квартирмейстера штаба Юго-Западного фронта, затем генерал для поручений при Главнокомандующем армиями Юго-Западного фронта, помощник генерал-квартирмейстера штаба Северо-Западного фронта. В сентябре 1915 года назначен генерал-квартирмейстером штаба Западного фронта. С апреля 1917 года исполнял должность начальника штаба 3-й армии. В декабре 1917 года уволен в отставку. 

После Октябрьской революции в мае 1918 года добровольно вступил в Красную Армию и был назначен на должность начальника Мобилизационного управления Всероссийского главного штаба (Всероглавштаба). Участник Гражданской войны. В мае — июле 1919 года начальник штаба Восточного фронта, а в июле 1919 года временно исполнял должность командующего Восточным фронтом. С июля 1919 года начальник Полевого штаба РВС Республики. На этой должности наиболее полно раскрылся его военный талант. Под его руководством Полевой штаб стал мощным центром, координирующим действия фронтов, разрабатывающим оперативные планы в масштабе всех фронтов. П. П. Лебедев участвовал в разработке и проведении операций по разгрому войск адмирала А.В. Колчака, генералов Е. К. Миллера, Н. Н. Юденича, А. И. Деникина, П. Н. Врангеля и в планировании операций во время Советско-польской войны 1920 года.

После окончания войны с февраля 1921-го по апрель 1924 года Лебедев служил начальником Штаба РККА и одновременно в 1922—1924 годах по совместительству был начальником Военной академии, а с марта 1923-го по февраль 1924 еще и членом РВС СССР. На этих должностях внес значительный вклад в подготовку военной реформы, становление и развитие методов работы Штаба РККА, в обучение и воспитание военных кадров. С 1924 года состоял для особо важных поручений при РВС СССР. С 1925-го по 1933 начальник штаба и помощник командующего войсками Украинского военного округа. Скончался в Харькове.