Родился 8 октября 1936 года в Москве в семье Вячеслава Яковлевича Куравлёва
(1909—1979 годы), слесаря авиазавода. В 1941 году мать, парикмахера Валентину Дмитриевну Куравлёву (1916—1993 годы), по ложному обвинению выслали на север
в посёлок Зашеек Мурманской области, где они с Леонидом прожили несколько лет
на берегу озера Имандра.

В школе Леонид учился неважно. Особенно трудно ему давались точные науки: математика, химия и физика. Как признаётся сам Куравлёв, это и повлияло на выбор профессии. Сестра как-то шутя посоветовала ему после школы поступать во ВГИК — там уж точно не надо было сдавать ни одного из столь нелюбимых Леонидом предметов.

Правда, с первого раза Леониду Куравлёву поступить не удалось. В 1953 году его первая попытка окончилась провалом, и он устроился работать в московскую артель «Оптик». Следующая попытка состоялась в 1955 году. На этот раз Леонид успешно сдал экзамены и стал студентом актёрского отделения ВГИКа, где учился на курсе Бориса Владимировича Бибикова. В кино Леонид Куравлёв дебютировал ещё будучи студентом. В 1960 году он сыграл матроса Камушкина в историко-революционном фильме Михаила Швейцера «Мичман Панин». Параллельно Куравлев снялся
в дипломной работе Василия Шукшина «Из Лебяжьего сообщают».

Куравлёв — ярко выраженный характерный актёр, мастер эпизодов. Его наиболее заметные роли — это Пашка Колокольников («Живёт такой парень»), Хома Брут («Вий»), Володька Завитушкин («Не может быть!»), Жорж Милославский («Иван Васильевич меняет профессию»), Копчёный («Место встречи изменить нельзя»), Шура Балаганов («Золотой телёнок»), Афоня Борщов («Афоня»), Айсман («Семнадцать мгновений весны»), инспектор Рири Гранден («Ищите женщину»), Спартак Иванович Молодцов («Опасно для жизни!»).

Участвовал в телепередаче «Белый попугай». В конце 1990-х годов совместно
с Вахтангом Кикабидзе снялся в рекламе циркониевых браслетов. В конце 1990-х годов вёл на ТВ программу «Мир книг с Леонидом Куравлёвым», в которой рассказывалось
о книжных новинках.

Скульптура героя Леонида Куравлёва — слесаря Афони из одноименного кинофильма — была установлена в 2010 году в Ярославле

После смерти в 2012 году супруги Нины Васильевны ведёт затворнический образ жизни, практически не появляясь на публике.