Родился Александр Савельевич Сироткин в деревне Бочатино Новгородской губернии в русской крестьянской семье. В 1903 году окончил церковно-приходскую школу
и начал крестьянствовать в хозяйстве отца, в 1908 году уехал в Санкт-Петербург,
где работал по найму.
В 1910 году был призван в армию, службу проходил в 4-м Финляндском стрелковом полку. После окончания полковой учебной команды становится младшим унтер-офицером, с апреля 1914 года - на сверхсрочной службе в должности старшего унтер-офицера.
Во время Первой мировой войны с августа 1914 года участвовал в боях, был дважды контужен. За боевые отличия был удостоен 4-х Георгиевских крестов и произведён
в прапорщики. За последующие отличия в боях получил шесть орденов, дослужился
до поручика. В августе 1917 года был откомандирован в 189-й запасной пехотный полк (Мценск) командиром роты. В конце ноября 1917 года полк переформировали в 1-й Мценский красногвардейский отряд, в феврале 1918 года отряд вошёл в состав РККА как 1-й Мценский полк. Александр Савельевич Сироткин вступил в РККА вместе
с отрядом.
Участвовал в боях с белогвардейцами на Восточном, Юго-Восточном и Южном фронтах командиром бригады в составе 15-й стрелковой дивизии, затем 40-й Богучарской стрелковой дивизии. В октябре 1919 года вступил в ВКП (б). После разгрома войск Петра Николаевича Врангеля, сражался с отрядами Нестора Ивановича Махно.
После Гражданской войны 40-я Богучарская стрелковая дивизия была переформирована в Отдельную Богучарскую стрелковую бригаду, Александр Савельевич Сироткин был назначен её командиром. 8 марта 1921 года включена
в состав Донецкой дивизии войск ГПУ Украины и Крыма, Александр Савельевич Сироткин становится старшим инспектором этой дивизии. В феврале 1922 года по личной просьбе был назначен командиром 1-го полка в той же дивизии.
Дивизия выполняла задачи по охране по охране угольных шахт и рудников, с 15 мая 1921 года участвовала в ликвидации бандитизма в Донецкой губернии. 14 июня 1922 года была расформирована.
После расформирования дивизии полк Александра Савельевича Сироткина был преобразован в 22-й особый стрелковый полк и передислоцировался в Тифлис (Закавказский военный округ), где был подчинён Закавказской ЧК (ЗакЧК). В 1923 году назначен начальником окружной школы по подготовке комсостава войск ВЧК Закавказья, с конца 1924 года — помощник пограничной охраны ЗакЧК. В 1926-1927 годах учился на КУВНАС при Военной академии им Фрунзе, с ноября 1927 года — старший инспектор войск ОГПУ Приволжского военного округа, затем начальник инспекции войск ОГПУ Средневолжского края, с начала 1934 года — начальник управления внутренней охраны НКВД Приволжского военного округа.
10 ноября 1936 года назначен начальником Управления пограничной и внутренней охраны (УПВО) (с 8 марта 1939 года — Управление погранвойск (УПВ)) НКВД Западно-Сибирского военного округа.
С 8 июля 1942 года по декабрь 1946 года — начальник войск НКВД (с 18 марта 1946 года — МВД) СССР по охране особо важных предприятий промышленности.
С 7 декабря 1946 года по 13 июля 1951 года — начальник войск МВД СССР по охране особо важных объектов промышленности и железных дорог. В 1947 году заочно окончил Военную академию им Фрунзе. С 13 июля 1951 года по март 1954 года — начальник Управления конвойной охраны МВД СССР.
9 июня 1956 года было создано Главное управление пограничных и внутренних войск (ГУПВВ), Александр Савельевич Сироткин назначен начальником управления штаба ГУПВВ СССР, после переформирования 2 апреля 1957 года ГУПВВ в Главное управление внутренних и конвойных войск (ГУВКВ) МВД СССР, Александр Савельевич Сироткин стал заместителем его начальника, одновременно возглавлял Управление спецчастей. В апреле 1959 года вышел в отставку.
Умер в 1965 году в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище.