Александр Александрович родился 24 мая 1906 года в городе Казань.
В Советской Армии он служил с 1931 года по 1933 год, с 1939 года по 1940 год и с 1941 года. Окончил медицинский факультет Казанского университета в 1929 году и преподавал в нём. В 1931-1933 годах он был преподавателем Военно-медицинской академии РККА, затем находился на научной и клинической работе.
С 1939 года возглавлял хирургическое отделение Всесоюзного института экспериментальной медицины. Участник военных событий на реке Халхин-Гол (1939 год), хирург-консультант Группы советских войск.
С первого и до последнего дня Великой Отечеств, войны Вишневский находился в действующей, армии, был армейским хирургом, главным хирургом ряда фронтов. В годы войны им разработаны и внедрены эффективные методы лечения огнестрельного ранения.
После войны находился на должности главного хирурга Приморского, затем Московского военных округов. С 1948 года был директором Института хирургии им. А. В. Вишневского, одновременно с 1956 года был главным хирургом Министерства обороны СССР. Разрабатывая проблемы военно-полевой хирургии, проводил важные исследования по обезболиванию, вёл большую работу в области хирургии лёгких, сердца и сосудов, компенсации нарушенных функций органов и систем. Занимался вопросами применения кибернетики, электроники и использования лазеров и полимеров в хирургии. В 1953 году впервые в мире произвёл операцию на сердце под местной анестезией. В 1957 году осуществил первую в СССР успешную операцию на «открытом сердце» с применением отечественного аппарата искусственного кровообращения.
Вишневский являлся крупным организатором медицинской науки. Он автор более 200 научных трудов, получивших признание в нашей стране и за рубежом. За работы по местному обезболиванию удостоен Международной премии имени Лериша (1955 год). Лауреат Ленинской премии (1960 год) и Государственной премии СССР (1970 год). Член Международной ассоциации хирургов. Депутат Верховного Совета РСФСР 8-го созыва.
Награждён 3 орденами Ленина, 4 орденами Красного Знамени, 2 орденами Отечественной войны 1-й степени, орденами Красной Звезды, «За службу Родине в Вооружённых Силах СССР» 3-й степени, а также иностранными орденами и медалями.
Александ Александрович умер 19 ноября 1975 года в Москве.