Фёдор Григорьевич Анощенков родился 3 февраля 1901 года в селе Учуево-Майдан ныне Починковского района Нижегородской области в крестьянской семье. 

В Красную Армию призван Нарушсовским райвоенкоматом в августе 1941 года. В действующей армии находился с декабря 1941 года, участвовал в тяжелых оборонительных боях 1941-1942 годов. Затем прошёл боевыми дорогами от Брянска до Польши. Вместе с орудийным расчётом участвовал в форсировании рек Десна, Сейм, Днепр, Припять. В бою за деревню Красное Черниговского района Черниговской области Украины Ф. Г.  Анощенко орудийным огнём уничтожил до ста гитлеровских солдат, пушку, два пулемёта. Для форсирования рек Десна, Днепр и Припять под бомбёжкой и непрерывным артиллерийским обстрелом младший сержант Фёдор Анощенков изготовлял плоты, паромы и переправлял на них орудия и боеприпасы. Так, на связанном из брёвен плоту орудийный расчёт Ф. Г.  Анощенкова одним из первых переправил свою пушку на правый берег реки Днепр и с первых выстрелов уничтожил вражеское орудие, мешавшее переправе советских войск. А когда противник начал контратаки, расчёт орудия младшего сержанта Анощенкова метким огнем успешно их отбивал.

     

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм младшему сержанту Анощенкову Фёдору Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

     

Но не суждено было бесстрашному артиллеристу дожить до Дня Победы над гитлеровской Германией. 19 августа 1944 года в боях на Сандомирском плацдарме, близ местечка Мелец Краковского воеводства (Польша) Ф.Г. Анощенков пал смертью храбрых. Похоронен на площади Мелеца.  

Именем героя названа улица в его родном селе. Внук героя – офицер-вертолётчик, майор Анощенков А.И., удостоен звания «Герой Российской Федерации».