Александр Васильевич Прыгунов родился 12 апреля 1907 года в Минеральных Водах (ныне – город Ставропольского края) в семье служащего – отец работал на железной дороге телеграфистом. Позднее семья жила в Костроме, а в 1921 году переехала в поселок Красные Баки Горьковской области. Здесь Александр закончил семилетку, а затем в поселке Варнавино – десять классов. Позднее он вернулся в Красные Баки, где работал в школе преподавателем физкультуры.

В 1931 году А.В. Прыгунов поступил в Ленинградский институт инженеров коммунального хозяйства. После окончания института работал в Ленинабаде на Балахнинском бумкомбинате и на Горьковском автозаводе. В мае 1941 года он поехал строить железную дорогу Котлас – Воркута. Здесь его и застала война; ряды Красной Армии А.В. Прыгунов был призван Усть-Усинским РВК в августе 1941 года.

На фронте Александр Прыгунов стал командиром саперной роты 28-го отдельного штурмового инженерно-саперного батальона (6-я штурмовая инженерно-саперная бригада, 40-я армия, Воронежский фронт). Старший лейтенант Александр Прыгунов в конце сентября 1943 года при форсировании Днепра в районе Великий Букрин (Мироновский район Киевской области) успешно обеспечил переправу личного состава и боеприпасов наступающих частей. Несмотря на то, что противник вывел из строя большую часть переправочных средств, на оставшемся пароме в ночь на 29 сентября 1943 года им было переправлено свыше 500 бойцов, 17 артиллерийских орудий с расчетами, 117 ящиков боеприпасов и другой военной техники. Во время операции А.В. Прыгунов был смертельно ранен; похоронен у деревни Яшники Киевской области.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года старшему лейтенанту Александру Васильевичу Прыгунову было посмертно присвоено звание Героя Советского Союза, также он был награжден орденом Ленина. Именем героя в городе Горьком (ныне – Нижний Новгород) названа одна из улиц Автозаводского района. Его имя навечно зачислено в списки одной из саперных частей.