Родился 26 августа 1787 года в семье генерал-поручика князя Сергея Александровича Меншикова. Получил домашнее воспитание. Образование он получил в Дрездене.
В 1805 году на 18 году от роду приехал в Россию и был принят на службу коллежским юнкером в Коллегию иностранных дел. В следующем году от был повышен до камер-юнкера V класса. Вначале он был причислен к российской миссии в Берлине, а затем,
с 1807 года, состоял при миссии в Лондоне; некоторое время был атташе в Вене.

15 июля 1809 года начал военную службу — поступил подпоручиком Лейб-гвардии
в артиллерийский батальон. В 1809—1811 годах участвовал в русско-турецкой войне, состоял адъютантом при генерале от инфантерии графе Николае Михайловиче Каменском. В 1811 году 24-летний Александр Меншиков был пожалован во флигель-адъютанты к императору Александру I.

В начале Отечественной войны поручик князь Меншиков был назначен дивизионным квартирмейстером 1-й гренадерской дивизии в 1-й Западной армии и после этого неоднократно служил в генеральном штабе. Он также участвовал во всех сражениях,
в которых принимала участия дивизия, в том числе и в Бородинском сражении. В конце 1812 года князь Александр Сергеевич был переведён в лейб-гвардии Преображенский полк, произведён в поручики. В 1813—1814 годах участвовал в заграничных походах русской армии.

16 января Александр Меншиков произведён в капитаны лейб-гвардии Преображенского полка. В июле 1813 года, после Плесвицкого перемирия, Бернадотт возглавил Северную армию союзников численностью свыше 100 тысяч человек.

В 1816 году, 15 февраля, был назначен директором канцелярии начальника Главного штаба Е. И. В. В том же году «за отличие по службе» произведён в генерал-майоры
с переводом в свиту Его Императорского Величества по квартирмейстерской части.
В 1821 году, вместе с Новосильцевым и Воронцовым, составил проект освобождения помещичьих крестьян, не принятый императором. В ноябре 1824 года он вышел
в отставку и удалился в деревню, где занимался изучением морского дела.

В январе 1826 года на престол вступил Николай I. Меншиков вновь вернулся на государственную службу и был послан императором с чрезвычайной миссией
в Персию. Там Меншиков был арестован и находился в тюрьме до 1827 года.
По возвращении получил поручение преобразовать морское министерство,
что и исполнил с большой энергией. В турецкую кампанию 1828 года, командуя десантным отрядом, посланным к восточным берегам Чёрного моря, овладел крепостью Анапа, после чего был назначен командующим русских войск, подступивших к Варне. В 1829 году он в должности начальника главного морского штаба принял командование над морскими силами Российской Империи; с 1830 года был финляндским генерал-губернатором. 

В 1833 году произведен в адмиралы.  В 1853 году, для переговоров с Портой, был направлен Чрезвычайным Послом в Константинополь. С началом Крымской войны 

по собственной инициативе прибыл в Севастополь, где приступил к организации сухопутной обороны крепости. После Альминского сражения, 30 сентября 1854 года, был назначен главнокомандующим сухопутными и морскими силами в Крыму 

и оставался на этом посту до февраля 1855 года. 

В царствование Александра II Меншиков покинул свои посты, но всё же принял деятельное участие в подготовке законодательных актов об освобождении крестьянства. 

Умер 2 мая 1869 года  в Санкт-Петербурге.