Родился 1 февраля 1921 года в Ленинграде. В 1939 году поступил в Высшего военно-морского инженерного училище имени Ф. Э. Дзержинского.

В 1942 году при прохождении практики на сторожевом корабле «Шквал» курсант Борис Лапшин участвовал в боевых действиях в составе кораблей Черноморского флота. Во время боя близ Новороссийска в сложных условиях исправил повреждения в опреснительной установке машины. В 1944 году, после окончания училища, лейтенант Лапшин был назначен командиром машинно-котельной группы эскадренного миноносца «Строгий» (проекта 7-У) Балтийского флота, который участвовал в боях с врагом до самого конца войны.

В 1947 году Лапшин был назначен командиром электромеханической части эсминца «Строгий». С 1950 года — дивизионный инженер-механик, флагманский инженер-механик бригады эскадренных миноносцев, дивизии крейсеров, эскадры Балтийского флота. В 1960—1968 годах — заместитель начальника Управления по эксплуатации, а с 1968 по 1975 год капитан I ранга Б. А. Лапшин — начальник Технического управления Балтийского флота. С 1975 по 1983 годы — начальник Высшего военно-морского инженерного училище им. В. И. Ленина.

Скончался 3 июля 2014 года в Санкт-Петербурге.